Question

17．二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1
（1）求f（x）的解析式；
（2）在區(qū)間[-1，1]上，函數(shù)y=f（x）的圖象恒在直線y=m的上方，試確定實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）二次函數(shù)滿足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1，設(shè)其方程為y=ax²+bx+1，代入f（x+1）-f（x）=2x，整理后利用同一性求出系數(shù)，
（2）轉(zhuǎn)化為x²-x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立，找g（x）=x²-x+1-m在[-1，1]上的最小值讓其大于0即可．

解答 解：（1）由題意，設(shè)其方程為y=ax²+bx+1代入f（x+1）-f（x）=2x恒成立，整理得2ax+a+b=2x恒成立，
所以a=1，a+b=0，
解得a=1，b=-1，
故f（x）=x²-x+1
（2）由題意得x²-x+1＞m在[-1，1]上恒成立．
即x²-x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立．
設(shè)g（x）=x²-x+1-m，其圖象的對稱軸為直線x=$\frac{1}{2}$，
∴g（x）在[-1，$\frac{1}{2}$]上遞減，[$\frac{1}{2}$，1]上遞增．
故只需g（$\frac{1}{2}$）＞0，即（$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$+1-m＞0，
解得m＜$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，解題的關(guān)鍵是了解二次函數(shù)的解析式的結(jié)構(gòu)利用待定系數(shù)法設(shè)出解析式，再代入所給的條件求出參數(shù)．