Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx-1
（1）當a=3時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）在（2，4）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx-1，其定義域為（0，+∞）．
∴，當；
令f^′（x）=0，解得．
如下表：
由表格可知：在區(qū)間（0，），（1，+∞）上f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；
在區(qū)間（，1）上f′（x）＞0．函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
（2）∵函數(shù)f（x）在（2，4）上是減函數(shù)，則，在x∈（2，4）上恒成立．
．
令g（x）=，則≥0，在（2，4）上恒成立，
∴g（x）在（2，4）上單調(diào)遞增，∴g（x）．
因此實數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）先求導，令導數(shù)等于0，得出其極值點，列出其表格，進而得出其單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）在（2，4）上是減函數(shù)?f^′（x）在區(qū)間（2，4）恒成立，通過分離參數(shù)，再利用導數(shù)求出其最值即可．
點評：熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值是解題的關鍵．分離參數(shù)法、等價轉(zhuǎn)化法必須掌握．