Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+ax，g（x）=e^xlnx（e 是自然對數(shù)的底數(shù)）。
（1）若曲線y= f（x）在x=1處的切線也是拋物線y²=4（x-1）的切線，求a的值；
（2）若對于任意x∈R，f（x）>0恒成立，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=-1時，是否存在x₀∈（0，+∞），使曲線C：y= g（x）- f（x）在點(diǎn)x=x₀處的切線斜率與f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合條件的x₀的個數(shù)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）f'（x）=e^x+a，f'（1）=e+a，
所以在x=1處的切線為y-（e+a）=（e+a）（x-1），
即y=（e+a）x，
與y²=4（x-1）聯(lián)立，
消去y得（e+a）²x²-4x+4=0，
由Δ=0知，a=1-e或a=-1-e。
（2）f'（x）=e^x+a
①當(dāng)a>0時，f'（x）>0，f（x）在R上單調(diào)遞增，且當(dāng)x→-∞時，e^x→0，ax→-∞
∴f（x）→-∞，故f（x）>0不恒成立，所以a>0不合題意；
②當(dāng)a=0時，f（x）=e^x>0對x∈R恒成立，所以a=0符合題意；
③當(dāng)a＜0時，令f'（x）=e²+a=0，得x=ln（-a），
當(dāng)x∈（-∞，ln（-a））時，f'（x）＜0，
當(dāng)x∈（ln（-a），+∞）時，f'（x）>0，
故f（x）在（-∞，ln（-a））上單調(diào)遞減，
在（ln（-a），+∞）上單調(diào)遞增
所以[f（x）]_min= f（ln（-a））=-a+aln（-a）>0，
∴a>-e
又a＜0，
∴a∈（-e，0）
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-e，0]。
（3）當(dāng)a=-1時，由（2）知[f（x）] _min= f（ln（-a））=-a+aln（-a）=1
設(shè)h（x）=g（x）- f（x）=e^xlnx-e^x+x
則h'（x）=
假設(shè)存在實(shí)數(shù)x₀∈（0，+∞），使曲線C：y=g（x）-f（x）在點(diǎn)x=x₀處的切線斜率與f（x）在R上的最小值相等，
x₀即為方程h'（x）=1的解
令h'（x）=1得：
在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴φ（x）≥φ（1）=0，故方程有唯一解為1
所以存在符合條件的x₀，且僅有一個。