Question

7．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0）滿足條件f（x-1）=f（3-x）且方程f（x）=2x有等根，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 根據(jù)f（1+x）=f（1-x）可知f（x）關(guān)于直線x=1對稱，又方程f（x）=x有兩個相等實根可知判別式等于零，列出方程組，求出a和b的值，即可得到f（x）的解析式．

解答 解：∵f（x-1）=f（3-x），
∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
∴f（x）的對稱軸x=-$\frac{2a}$=1，①
又f（x）=2x，即ax²+（b-2）x=0有等根，
∴△=（b-2）²=0，②
由①②，解得a=-1，b=2，
故f（x）的解析式為：f（x）=-x²+2x．
故答案為：f（x）=-x²+2x．

點評 本題考查了函數(shù)解析式的求法，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，重點研究有關(guān)于二次函數(shù)的性質(zhì)．求函數(shù)解析式常見的方法有：待定系數(shù)法，換元法，湊配法，消元法等．對于二次函數(shù)要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，注意抓住二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，以及判別式的考慮．屬于中檔題．