Question

一根竹竿長2米，豎直放在廣場的水平地面上，在t₁時刻測得它的影長為4米，在t₂時刻的影長為1米．這個廣場上有一個球形物體，它在地面上的影子是橢圓，問在t₁、t₂這兩個時刻該球形物體在地面上的兩個橢圓影子的離心率之比為（　�。�

• A、1：1
• B、

  2

  ：1
• C、

  3

  ：1
• D、2：1

Answer 1

分析：在同一時刻，物體的實際高度和影長成正比，據此列方程求得球在地面上的影子長度，即橢圓的長軸長，而橢圓的短軸長即為球的半徑，從而求得橢圓影子的離心率即可解答．

解答：解：如圖，
AC為太陽光線與⊙O相切，則AC=AB=m，
在t₁時刻，
設CD=x，則AD=2x，半徑為R，
在Rt△ACD中，x²+4x²=m²，解得x=

5

5

m，
∴OH=BD=m-2×

5

5

m，CH=

5

5

m-R，
在Rt△OCH中，R²=（m-2×

5

5

m）²+（

5

5

m-R）²，
解得

2R

m

=2(

5

-2)．
在t₂時刻，設球的影子長為：n，同理可得：

n

2R

=2(

5

-2)，
設在t₁、t₂這兩個時刻該球形物體在地面上的兩個橢圓的長軸長分別為為2a，2a′，短軸長為2b，2b′
對于橢圓而言，即

2a

2b

=

m

2R

或

2a′

2b′

=

2R

n

；
而橢圓的離心率

c

a

=

1- b 2 a 2

，
根據在t₁、t₂這兩個時刻該球形物體在地面上的兩個橢圓的短軸與長軸的比值相等，
∴在t₁、t₂這兩個時刻該球形物體在地面上的兩個橢圓影子的離心率之比為1：1，
故選A．

點評：本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可．