Question

已知函數f（x）=xlnx。
（1）求f（x）的最小值；
（2）討論關于x的方程f（x）-m=0（m∈R）的解的個數；
（3）當a>0，b>0時，求證：f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2。

Answer 1

解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），
f'（x）=lnx+1，令f'（x）=0，得
當x∈（0，+∞）時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

所以f（x）在（0，+∞）上的最小值是。
（2）當時，f（x）單調遞減且f（x）的取值范圍是
當時，f（x）單調遞增且f（x）的取值范圍是
下面討論f（x）-m=0的解：
所以，當時，原方程無解
當或m≥0時，原方程有唯一解
當時，原方程有兩解。
（3）原不等式可化為：f（a）+f（a+b）-a]≥f（a+b）-（a+b）ln2，
設函數g（x）=f（x）+f（k-x）（k>0），
則g（x）=xlnx+（k-x）ln（k-x）（0＜x＜k）

令g'（x）＜0，解得：
令g'（x）>0，則
∴，
解得
∴函數g（x）在上單調遞減，在上單調遞增
∴g（x）在（0，k）上的最小值為
∴當x∈（0，k）時，總有
即
klnk-kln2=f（k）-kln2
令x=a，k-x=b，
則有：f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+ b）ln2。