Question

已知偶函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，試問f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：根據(jù)偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，可得到結(jié)論，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的證明方法，任取x₁＜x₂＜0，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)及f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，判斷出f（x₁）與f（x₂）的大小，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可得結(jié)論．

解答：解：f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．理由如下：
設(shè)x₁＜x₂＜0，則-x₁＞-x₂＞0…（2分）
因 f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
所以 f（-x₁）＞f（-x₂）…（4分）
又 f（x）是偶函數(shù)，所以f（x₁）＞f（x₂）…（6分）
因此，f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．       …（8分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，其中熟練掌握函數(shù)單調(diào)性及奇偶性是定義是解答本題的關(guān)鍵．