Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=2（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，其上一點(diǎn)P，若∠F₁PF₂=θ，
（1）證明：三角形SF1PF2=b2cot

θ

2

；
（2）若雙曲線的離心率為2，斜率為1的直線與雙曲線交于B、D兩點(diǎn)，BD的中點(diǎn)M（1，3），雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，若過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切，請(qǐng)求解雙曲線方程和

DF

•

BF

的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，由余弦定理得（2c）²=m²+n²-2mncosθ=4a²+2mn（1-cosθ），所以mn=

4c2-4a2

2(1-cosθ)

=

2b2

1-cosθ

，再由正弦定理能證明S△F1PF2=b2cot

θ

2

．
（2）因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以雙曲線方程為：3x²-y²=3a²，由題設(shè)知l的方程為：y=x+2，A（a，0），F(xiàn)（2a，0），聯(lián)立方程得2x²-4x-4-3a²=0，x₁+x₂=2，x1•x2=-

4+3a2

2

＜0，由此入手能夠求出|

DF

|•|

BF

|的值．

解答：（1）證明：設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，由余弦定理得
（2c）²=m²+n²-2mncosθ
=（m-n）²+2mn-2mncosθ
=4a²+2mn（1-cosθ），
∴mn=

4c2-4a2

2(1-cosθ)

=

2b2

1-cosθ

，
由正弦定理S△F1PF2=

1

2

mnsinθ=

b2sinθ

1-cosθ

=b2cot

θ

2

．…（5分）
（2）解：因?yàn)殡p曲線的離心率為2，
所以雙曲線方程為：3x²-y²=3a²，
由題設(shè)知l的方程為：y=x+2，A（a，0），F(xiàn)（2a，0），
聯(lián)立方程得2x²-4x-4-3a²=0，
x₁+x₂=2，x1•x2=-

4+3a2

2

＜0，
若過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切，
假定BD為圓的直徑，那么BD=2MA，就可以求出a=1，
如果假設(shè)不成立，a就無(wú)實(shí)數(shù)解．
因?yàn)椋�不在一條直線的三個(gè)點(diǎn)只有一個(gè)圓
則BD=

2

×

48+24a2

2

=2

6+3a2

=2MA，
∴6+3a²=（a-1）²+9，
∴a=1，
∴雙曲線方程為x2-

y2

3

=1．…（8分）
故不妨設(shè)x₁≤-a，x₂≥a，
則|BF|=

(x1-2a)2+y12

=

(x1-2a)2+3x12-3a2

=a-2x₁，
|FD|=

(x2-2a)2+y22

=

(x2-2a)2+3x22-3a2

=2x₂-a，
∴|BF|•|FD|=（a-2x₁）（2x₂-a）
=-4x₁x₂+2a（x₁+x₂）-a²
=5a²+4a+8
=17，
∴|

DF

|•|

BF

|=17．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意正弦定理和余弦定理的合理運(yùn)用．