Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比為q，前n項(xiàng)和S_n＞0（n=1，2，3，…），則q的取值范圍是

q＞-1且q≠0

．

Answer 1

分析：首先判斷出首項(xiàng)a₁＞0，分q是否為1，寫出Sn的表達(dá)式，再用驗(yàn)證的方法考察S_n＞0時(shí)q的取值范圍．

解答：解：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁＞0，首項(xiàng)必為正數(shù)．
（1）當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na₁＞0，
（2）當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a₁•

1-qn

1-q

①若q＞1，則1-q＜0，1-qⁿ＜0，S_n＞0成立．
②若0＜q＜1，則1-q＞0，1-qⁿ＞0，S_n＞0成立．
③若-1＜q＜0，則 1-q＞0，1-qⁿ＞0，S_n＞0成立．
④若q≤-1，則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，1-qⁿ≤0，S_n＞0不成立．
綜上所述，q的取值范圍是q＞-1且q≠0，
故答案為：q＞-1且q≠0

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，分式不等式的解法．需具有良好的分類討論的意識和能力．