Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=3a_n-2（n=1，2，…）．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），且b₁=-3，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用數(shù)列的前n項(xiàng)和，推出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）通過b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），且b₁=-3，寫出數(shù)列n=2，3，4…n，的關(guān)系式，通過累加法，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用通項(xiàng)公式，直接求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．
解答：解：（Ⅰ）證：因?yàn)?nbsp; S_n=3a_n-2（n=1，2，…），S_n-1=3a_n-1-2（n=2，3，…），
所以當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3a_n-3a_n-1，整理得．
由S_n=3a_n-2，令n=1，得a₁=3a₁-2，解得a₁=1．
所以{a_n}是首項(xiàng)為1，公比是的等比數(shù)列．…（6分）
（Ⅱ）解：由b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），
得b_n+1-b_n=a_n（n=1，2，…）．
所以
從而 ．
．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查等比數(shù)列的判斷方法，通項(xiàng)公式的求法等知識(shí)，考查累加法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，�？碱}型．