Question

()（本小題滿分13分）

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓在第一象限相切于點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求直線的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅲ）是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，滿足？若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）切點(diǎn)坐標(biāo)為（Ⅲ）存在直線滿足條件，其方程為．

解析:

（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，由題意得

解得，，故橢圓的方程為． ……………………4分

（Ⅱ）因?yàn)檫^點(diǎn)的直線與橢圓在第一象限相切，所以的斜率存在，故可設(shè)直線的方程為．

由得．   ①

因?yàn)橹本�與橢圓相切，所以.

整理，得.

解得．

所以直線方程為．

將代入①式，可以解得點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，故切點(diǎn)坐標(biāo)為．……9分

（Ⅲ）若存在直線滿足條件，設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程得．

因?yàn)橹本�與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

所以．

所以．

又，，

因?yàn)?img width=100 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/89/58289.gif">，即，

所以．

即 ，

所以，解得．

因?yàn)?img width=32 height=22 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/82/58282.gif">為不同的兩點(diǎn)，所以.

于是存在直線滿足條件，其方程為．      …………………………13分