Question

【題目】如圖，在多面體中，四邊形為矩形，，均為等邊三角形，，．

（1）過作截面與線段交于點，使得平面，試確定點的位置，并予以證明；

（2）在（1）的條件下，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）當為線段的中點時，使得平面．（2）

【解析】

試題分析：(1) 當為線段的中點時，平面．連結(jié)AC交BD于M,連結(jié)MN.利用中位線定理即可證明 ,于是平面．

(2)通過線面關(guān)系證得 ，．分別以，，的方向為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，用向量法求解即可.

試題解析：（1）當為線段的中點時，使得平面．

證法如下：

連接，，設，

∵四邊形為矩形，

∴為的中點，

又∵為的中點，

∴為的中位線，

∴，

∵平面，平面，

∴平面，故為的中點時，使得平面．

（2）過作分別與，交于，，

因為為的中點，所以，分別為，的中點，

∵與均為等邊三角形，且，

∴，連接，，則得，

∵， ，，

∴，，

∴四邊形為等腰梯形．

取的中點，連接，則，

又∵，，，

∴平面，

過點作于，則，

∴ ，．

分別以，，的方向為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，不妨設，則由條件可得：，，，，，．

設是平面的法向量，

則即

所以可取，

由，可得，

∴直線與平面所成角的正弦值為．