Question

15．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t-1\\ y=2t+1\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C₂的極坐標方程為ρ=2cosθ．
（Ⅰ）分別求出曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）若點P在曲線C₂上，且P到曲線C₁的距離為2，求滿足這樣條件的點P的個數(shù)．

Answer 1

分析 （I）用分別x，y表示出t，列出方程消去t，得到C₁的普通方程，由ρ=2cosθ得ρ²=2ρcosθ，根據(jù)極坐標與直角坐標的對應關系得出C₂的直角坐標方程；
（II）計算C₂的圓心到直線的距離，判斷直線C₁與圓C₂的位置關系，得出答案．

解答 解：（Ⅰ）∵$\left\{\begin{array}{l}x=t-1\\ y=2t+1\end{array}\right.$（t為參數(shù)），∴$\left\{\begin{array}{l}{t=x+1}\\{t=\frac{y-1}{2}}\end{array}\right.$，
∴曲線C₁的普通方程為x+1=$\frac{y-1}{2}$，即2x-y+3=0．
由ρ=2cosθ得ρ²=2ρcosθ，
∴曲線C₂的直角坐標方程為：x²+y²=2x，即：（x-1）²+y²=1．
（Ⅱ）圓心C₂（1，0）到直線C₁的距離為$d=\frac{{|{2-0+3}|}}{{\sqrt{1+4}}}=\sqrt{5}$，圓C₂半徑為1，
∴C₂上的點到C₁的最短距離為$\sqrt{5}-1$，最大距離為$\sqrt{5}+1$．
∵$\sqrt{5}-1＜2＜\sqrt{5}+1$，
所以圓C₂上到直線C₁的距離為2的點有兩個．

點評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關系判斷，屬于基礎題．