Question

1．設p：函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-a{x^2}+2x+1$ 在區(qū)間[1，2]上是單調增函數，設q：方程（2a²-3a-2）x²+y²=1表示雙曲線，“p 且q”為真命題，則實數a 的取值范圍為$（{-\frac{1}{2}，\sqrt{2}}]$．

Answer 1

分析 若“p 且q”為真命題，則命題p，q均為真命題，進而可得滿足條件的實數a 的取值范圍．

解答 解：若命題p：函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-a{x^2}+2x+1$ 在區(qū)間[1，2]上是單調增函數為真命題，
則f′（x）=x²-2ax+2≥0在區(qū)間[1，2]上恒成立，
即a≤$\frac{x}{2}+\frac{1}{x}$在區(qū)間[1，2]上恒成立，
由y=$\frac{x}{2}+\frac{1}{x}$在區(qū)間[1，$\sqrt{2}$]上為減函數，在[$\sqrt{2}$，2]上為增函數，
故當x=$\sqrt{2}$時，y取最小值$\sqrt{2}$，
故a≤$\sqrt{2}$．
若方程（2a²-3a-2）x²+y²=1表示雙曲線，
則2a²-3a-2＜0，
解得：-$\frac{1}{2}$＜a＜2，
若“p 且q”為真命題，則命題p，q均為真命題，
故a∈$（{-\frac{1}{2}，\sqrt{2}}]$，
故答案為：$（{-\frac{1}{2}，\sqrt{2}}]$．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，函數恒成立問題，函數的最值，雙曲線的方程，難度中檔．