Question

【題目】某房地產(chǎn)開發(fā)商為吸引更多消費(fèi)者購房,決定在一塊閑置的扇形空地中修建一個(gè)花園.如圖,已知扇形AOB的圓心角∠AOB=,半徑為R.現(xiàn)欲修建的花園為OMNH,其中M,H分別在OA,OB上,N在上.設(shè)∠MON=θ,OMNH的面積為S.

(1)將S表示為關(guān)于θ的函數(shù);

(2)求S的最大值及相應(yīng)的θ值.

Answer 1

【答案】（1）S=R2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈；（2）θ=時(shí),S取得最大值R2.

【解析】

（1）分別過N，H作ND⊥OA于D，HE⊥OA于E，則HEDN為矩形，求出邊長，即可求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過θ的范圍求出S的最大值及相應(yīng)的θ角.

(1)如圖,過N作NP⊥OA于點(diǎn)P,過H作HE⊥OA于點(diǎn)E,∵∠AOB=,

∴OE=EH=NP=Rsin θ,OP=Rcos θ,

∴HN=EP=OP-OE=R(cos θ-sin θ),

∴S=HN·NP=R2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈.

(2)S=R2(cos θsin θ-sin2θ)

=R2

=R2(sin 2θ+cos 2θ-1)

=R2,

∵θ∈,∴2θ+,

∴當(dāng)2θ+,即θ=時(shí),S取得最大值,且最大值為R2.