Question

等差數列{a_n}的公差d∈（-1，0），且

sin2a3-cos2a3+cos2a3cos2a6-sin2a3sin2a6

sin(a2+a7)

=1，僅當n=9時，數列{a_n}的前n項和S_n取得最大值，則首項a₁的取值范圍是

{

17π

20

，

17π

10

，

51π

20

，

17π

12

}

．

Answer 1

分析：由等差數列{a_n}的性質可得：a₂+a₇=a₃+a₆，由于

sin2a3-cos2a3+cos2a3cos2a6-sin2a3sin2a6

sin(a2+a7)

=1，再利用平方關系和倍角公式、和差化積可得
-sin（a₆+a₃）sin（a₆-a₃）=sin（a₃+a₆），于是得到sin（a₆+a₃）=0，或sin（a₆-a₃）=-1，（*）．由于Sn=na1+

n(n-1)d

2

=

d

2

n2+(a1-

d

2

)n，且僅當n=9時，數列{a_n}的前n項和S_n取得最大值，可得-

a1- d 2

2× d 2

=9，即a1=-

17d

2

．利用公差d∈（-1，0），可得a₆+a₃，a₆-a₃的范圍，進而利用特殊角的三角函數值即可得出．

解答：解：由等差數列{a_n}的性質可得：a₂+a₇=a₃+a₆，
∵

sin2a3-cos2a3+cos2a3cos2a6-sin2a3sin2a6

sin(a2+a7)

=1，∴sin2a3(1-sin2a6)+cos2a3cos2a6-cos²a₃=sin（a₃+a₆），
∴cos2a6(sin2a3+cos2a3)-cos²a₃=sin（a₃+a₆），
∴cos2a6-cos2a3=sin(a3+a6)．
∴

1+cos2a6

2

-

1+cos2a3

2

=sin（a₃+a₆），
化為-sin（a₆+a₃）sin（a₆-a₃）=sin（a₃+a₆），
∴sin（a₆+a₃）=0，或sin（a₆-a₃）=-1，（*）
∵Sn=na1+

n(n-1)d

2

=

d

2

n2+(a1-

d

2

)n，且僅當n=9時，數列{a_n}的前n項和S_n取得最大值，
∴-

a1- d 2

2× d 2

=9，化為a1=-

17d

2

．
∵a₆+a₃=2a₁+7d=10d，a₆-a₃=3d，
∴（*）化為sin10d=0或sin3d=-1．
∵-1＜d＜0，∴-10＜10d＜0，-3＜3d＜0．
∴10d=-π，-2π，-3π.3d=-

π

2

．
∴d=-

π

10

，-

π

5

，-

3π

10

，-

π

6

，
∴a₁=

17π

20

，

17π

10

，

51π

20

，

17π

12

．
故答案為{

17π

20

，

17π

10

，

51π

20

，

17π

12

}．

點評：本題綜合考查了等差數列的通項公式及其性質、三角函數的平方關系和倍角公式、和差化積、二次函數的單調性、特殊角的三角函數等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．