Question

4．某學校擬在廣場上建造一個矩形花園，如圖所示，中間是完全相同的兩個橢圓型花壇，每個橢圓型花壇的面積均為216π平方米，兩個橢圓花壇的距離是1.5米．整個矩形花壇的占地面積為S．
（注意：橢圓面積為πab，其中a，b分別為橢圓的長短半軸長）
（1）根據圖中所給數據，試用a、b表示S；
（2）當橢圓形花壇的長軸長為多少米時，所建矩形花園占地最少？并求出最小面積．

Answer 1

分析 （1）根據圖中所給數據，由題意得，S=（2a+6）（4b+$\frac{9}{2}$）；
（2）利用πab=216π，可得ab=216，再利用基本不等式即可得出結論．

解答 解：（1）由題意得，S=（2a+6）（4b+$\frac{9}{2}$）=8ab+9a+24b+27…（5分）
（2）∵πab=216π，∴ab=216
∴S=8ab+9a+24b+27≥8×216+27+2$\sqrt{9a•24b}$=2187
當且僅當9a=24b，即a=24時，取“=”，此時2a=48 …（12分）
答：當橢圓形花壇的長軸為48米時，所建矩形花園占地最少，占地面積為2187平方米..…..（13分）

點評 本題主要考查函數在實際生活中的應用以及利用二元不等式求最值的方法，解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．