Question

（2012•無為縣模擬）已知二次函數(shù)y=f（x）（z∈R）的圖象過點（0，-3），且f（x）＞0的解集（1，3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若當x＞0時，恒有f（x）≤tx，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意可設f（x）=a（x-1）（x-3）（a＜0），由f（0）=-3可求得a，從而可得f（x）的解析式；
（2）由題意可得t≥

-x2+4x-3

x

對x＞0恒成立，利用基本不等式可求得

-x2+4x-3

x

的最大值，從而可求得實數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（1）由題意設二次函數(shù)y=f（x）=a（x-1）（x-3）（a＜0）…2分
當x=0時，y=-3，即有-3=a（-1）×（-3），
∴a=-1．
∴f（x）=-（x-1）（x-3）=-x²+4x-3…6分
（2）∵x＞0時，恒有f（x）≤tx，
∴-x²+4x-3≤tx，
∴t≥

-x2+4x-3

x

對x＞0恒成立，…8分
而

-x2+4x-3

x

=-x-

3

x

+4=-（x+

3

x

）+4≤-2

3

+4（當且僅當x=

3

x

即x=

3

時取等號成立）…10分
∴t≥4-2

3

．
故實數(shù)t的取值范圍為[4-2

3

，+∞）…12分

點評：本題考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式的應用，考查分析、轉化與運算的能力，屬于中檔題．