Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線(xiàn)l：y＝2x－4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．

(1)若圓心C也在直線(xiàn)y＝x－1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線(xiàn)，求切線(xiàn)的方程；

(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

Answer 1

解：(1)由題設(shè)，圓心C是直線(xiàn)y＝2x－4和y＝x－1的交點(diǎn)，解得點(diǎn)C(3,2)，于是切線(xiàn)的斜率必存在．設(shè)過(guò)A(0,3)的圓C的切線(xiàn)方程為y＝kx＋3，

由題意，得＝1，解得k＝0或－，

故所求切線(xiàn)方程為y＝3或3x＋4y－12＝0.

(2)因?yàn)閳A心在直線(xiàn)y＝2x－4上，所以圓C的方程為(x－a)²＋[y－2(a－2)]²＝1.

設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)?i>MA＝2MO，

所以

化簡(jiǎn)得x²＋y²＋2y－3＝0，即x²＋(y＋1)²＝4，所以點(diǎn)M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上．由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3.

由5a²－12a＋8≥0，得a∈R；

由5a²－12a≤0，得0≤a≤.

所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為[0，.]