Question

15．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P位于拋物線(xiàn)y²=4x上，定點(diǎn)A_n的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$n，0）（n=1，2，3，4），則|$\overrightarrow{P{A}_{1}}$+$\overrightarrow{P{A}_{2}}$|+|$\overrightarrow{P{A}_{3}}$+$\overrightarrow{P{A}_{4}}$|的最小值為（　　）

• A． 4
• B． $\frac{10}{3}$
• C． $\frac{20}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)向量坐標(biāo)的運(yùn)算以及向量模長(zhǎng)公式，結(jié)合拋物線(xiàn)的性質(zhì)，利用構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到兩點(diǎn)之間的距離和的最值問(wèn)題進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)P（x，y），則y²=4x，
則$\overrightarrow{P{A}_{1}}$+$\overrightarrow{P{A}_{2}}$=（$\frac{2}{3}$-x，-y）+（$\frac{4}{3}$-x，-y）=（2-2x，-2y），$\overrightarrow{P{A}_{3}}$+$\overrightarrow{P{A}_{4}}$=（2-x，-y）+（$\frac{8}{3}$-x，-y）=（$\frac{14}{3}$-2x，-2y），
則|$\overrightarrow{P{A}_{1}}$+$\overrightarrow{P{A}_{2}}$|+|$\overrightarrow{P{A}_{3}}$+$\overrightarrow{P{A}_{4}}$|=$\sqrt{（2-2x）^{2}+4{y}^{2}}$+$\sqrt{（\frac{14}{3}-2x）^{2}+4{y}^{2}}$=2（$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-\frac{7}{3}）^{2}+{y}^{2}}$）
設(shè)P（x，y），F(xiàn)（1，0），F(xiàn)（$\frac{7}{3}$，0），
則$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$表示P到F點(diǎn)的距離PF，
$\sqrt{（x-\frac{7}{3}）^{2}+{y}^{2}}$表示P到E的距離PE
則過(guò)P作PD⊥準(zhǔn)線(xiàn)l，
則PD=PQ，
則PE+PF=PD+PE≥BE=$\frac{7}{3}$-（-1）=$\frac{10}{3}$，
即|$\overrightarrow{P{A}_{1}}$+$\overrightarrow{P{A}_{2}}$|+|$\overrightarrow{P{A}_{3}}$+$\overrightarrow{P{A}_{4}}$|=2（PE+PF）≥$\frac{20}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向坐標(biāo)的運(yùn)算和向量模長(zhǎng)的計(jì)算，根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)，利用構(gòu)造法抓好為兩點(diǎn)間的距離是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．