Question

6．某單位共有10名員工，他們某年的收入如表：

員工編號	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
年薪（萬元）	3	3.5	4	5	5.5	6.5	7	7.5	8	50

（Ⅰ）從該單位中任取2人，此2人中年薪收入高于5萬的人數記為X，求X的分布列和期望；
（Ⅱ）已知員工年薪收入y與工作年限x成正相關關系，若某員工工作第一年至第四年的年薪如表：

工作年限	1	2	3	4
年薪（萬元）	3.0	4.2	5.6	7.2

預測該員工第五年的年薪為多少？
附：線性回歸方程${\;}_{y}^{-}$=bx+a中細數參考公式和參考數據分別為：
${\;}_^{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}{-}_{x}^{-}）（{y}_{i}{-}_{y}^{-}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}{-}_{x}^{-}）^{2}}$，${\;}_{a}^{∧}$=${\;}_{y}^{-}$-bx，其中${\;}_{x}^{-}$，${\;}_{y}^{-}$為樣本均值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據題意，隨機變量X的可能取值為0，1，2，
計算對應的概率值，寫出X的分布列，計算數學期望值；
（Ⅱ）計算平均數，求出回歸系數，寫出線性回歸方程，計算x=5時$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（Ⅰ）年薪高于5萬的有6人，低于或等于5萬的有4人；
所以X的可能取值為0，1，2；
計算P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{15}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{3}$；
所以隨機變量X的分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{3}$

數學期望為EX=0×$\frac{2}{15}$+1×$\frac{8}{15}$+2×$\frac{1}{3}$=$\frac{6}{5}$；
（Ⅱ）設x_i，y_i（i=1，2，3，4）分別表示工作年限及相應年薪，則
$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$$\sum_{i=1}^{4}$x_i=2.5，$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$$\sum_{i=1}^{4}$y_i=5
$\sum_{i=1}^{4}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=2.25+0.25+0.25+2.25=5，
$\sum_{i=1}^{4}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=（-1.5）×（-2）+（-0.5）×（-0.8）+0.5×0.6+1.5×2.2=7，
∴${\;}_^{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}{-}_{x}^{-}）（{y}_{i}{-}_{y}^{-}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}{-}_{x}^{-}）^{2}}$=$\frac{7}{5}$=1.4，${\;}_{a}^{∧}$=${\;}_{y}^{-}$-bx=5-1.4×2.5=1.5；
∴員工年薪與工作年限的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=1.4x+1.5．
當x=5時，$\stackrel{∧}{y}$=1.4×5+1.5=8.5，
預測該員工工作第5年時的年薪為8.5萬元．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，也考查了線性回歸方程的應用問題，是中檔題．