Question

19．在△ABC中，D是BC中點(diǎn)，已知∠BAD+∠C=90°．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）若△ADC的三邊長是連續(xù)三個(gè)正整數(shù)，求∠BAC的余弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)∠BAD=α，∠DAC=β，則由α+C=90°，可得β+B=90°，△ABD中，由正弦定理得：$\frac{sinB}{sinα}$=$\frac{AD}{BD}$，$\frac{sinC}{sinβ}$=$\frac{AD}{DC}$，結(jié)合BD=DC，可得sin2C=sin2B，結(jié)合范圍B，C∈（0，π），即解得B=C或B+C=90°，從而得解． 
（2）當(dāng)B+C=90°時(shí)，$AD=\frac{1}{2}BC=DC$，與△ADC的三邊長是連續(xù)三個(gè)正整數(shù)矛盾，
可得∠B=∠C，在直角三角形ADC中，設(shè)兩直角邊分別為n，n-1，斜邊為n+1，由勾股定理得n=4，由余弦定理或二倍角公式即可求得cos∠BAC的值．

解答 解：（1）設(shè)∠BAD=α，∠DAC=β，
則由α+C=90°，∴β+B=90°，
△ABD中，由正弦定理得：$\frac{BD}{sinα}=\frac{AD}{sinB}$，即$\frac{sinB}{sinα}$=$\frac{AD}{BD}$，
同理得：$\frac{sinC}{sinβ}$=$\frac{AD}{DC}$，…（2分）
∵BD=DC，∴$\frac{sinB}{sinα}=\frac{sinC}{sinβ}$，∴sinαsinC=sinβsinB，
∵α+C=90°，β+B=90°，∴sinCcosC=sinBcosB，…（4分）
即sin2C=sin2B，因?yàn)锽，C∈（0，π）
即B=C或B+C=90°                        …（6分）
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．…（7分）
（2）當(dāng)B+C=90°時(shí)，$AD=\frac{1}{2}BC=DC$，與△ADC的三邊長是連續(xù)三個(gè)正整數(shù)矛盾，
∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．…（8分）
在直角三角形ADC中，設(shè)兩直角邊分別為n，n-1，斜邊為n+1，由（n+1）²=n²+（n-1）² 得n=4，…（10分）
由余弦定理或二倍角公式得cos∠BAC=$\frac{7}{25}$ 或cos∠BAC=-$\frac{7}{25}$ （12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．