Question

【題目】（本小題滿分13分） 已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)代入橢圓方程,結(jié)合關(guān)系式和,組成方程組,可解得的值,從而可得橢圓的方程.（2）由題意分析可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.將直線方程和橢圓方程聯(lián)立,消去整理為關(guān)于的一元二次方程.由題意可知其判別式大于0,可得的范圍. 設(shè)， 的坐標(biāo)分別為， .由韋達(dá)定理可得的值.根據(jù)數(shù)量積公式用表示.根據(jù)的范圍求得范圍.

試題解析：解：（1）由題意得解得， ．

橢圓 的方程為．

（2）由題意顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

由得.

直線 與橢圓交于不同的兩點(diǎn)， ，

，解得.

設(shè)， 的坐標(biāo)分別為， ，

則， ， ， ．

．

， ． 的取值范圍為．