Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+a，x＜\frac{1}{2}}\\{{4}^{x}-3，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的最小值為-1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． a≥-2
• B． a＞-2
• C． a≥-$\frac{1}{4}$
• D． a＞-$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)的單調(diào)性，分別求出當(dāng)x≥$\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)的值域，由題意可得a的不等式，計(jì)算即可得到．

解答 解：當(dāng)x≥$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=4^x-3≥2-3=-1，
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，取得最小值-1；
當(dāng)x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=x²-2x+a=（x-1）²+a-1，
即有f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）遞減，
則f（x）＞f（$\frac{1}{2}$）=a-$\frac{3}{4}$，
由題意可得a-$\frac{3}{4}$≥-1，
解得a≥-$\frac{1}{4}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用：求最值，主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)的值域的求法，屬于中檔題．