Question

【題目】若無窮數(shù)列滿足： ，對于，都有（其中為常數(shù)），則稱具有性質(zhì)“”.

（Ⅰ）若具有性質(zhì)“”，且， ， ，求；

（Ⅱ）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列， ， ， ，判斷是否具有性質(zhì)“”，并說明理由；

（Ⅲ）設(shè)既具有性質(zhì)“”，又具有性質(zhì)“”，其中， ， 互質(zhì)，求證： 具有性質(zhì)“”.

Answer 1

【答案】（1）， （2）見解析（3見解析）

【解析】試題分析: （1）因為具有性質(zhì)“”，所以， .再根據(jù)已知數(shù)據(jù),求出即可; （2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由 ， ，故. 設(shè)等比數(shù)列的公比為，由 ， ，故，所以. 若具有性質(zhì)“”，則， .又，故不具有性質(zhì)“”;(3) 因為具有性質(zhì)“”，所以， .①

因為具有性質(zhì)“”，所以， .②,化簡整理得， ,得證.

試題解析:解 ：（Ⅰ）因為具有性質(zhì)“”，所以， .

由，得，由，得.

因為，所以，即.

（Ⅱ）不具有性質(zhì)“”.

設(shè)等差數(shù)列的公差為，由 ， ，

得，所以，故.

設(shè)等比數(shù)列的公比為，由 ， ，

得，又，所以，故，

所以.

若具有性質(zhì)“”，則， .

因為， ，所以，

故不具有性質(zhì)“”.

（Ⅲ）因為具有性質(zhì)“”，所以， .①

因為具有性質(zhì)“”，所以， .②

因為， ， 互質(zhì)，

所以由①得；由②，得，

所以，即.

②-①，得， ，

所以， ，

所以具有性質(zhì)“”.