Question

（2009•江蘇一模）已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）=2x-9，且f（0）的值為整數(shù)，當x∈（n，n+1]（n∈N^*）時，f（x）的值為整數(shù)的個數(shù)有且只有1個，則n=

4

．

Answer 1

分析：因為f'（x）=2x-9，所以可設f（x）=x²-9x+k，則f（0）=k為整數(shù)，由于n為正整數(shù)，可得f（n+1）及f（n）均為整數(shù)，函數(shù)的對稱軸為x=4.5，利用函數(shù)的最大值與最小值的差，可得結論．

解答：解：因為f′（x）=2x-9，所以可設f（x）=x²-9x+k，
由f（0）=k，k為整數(shù)，n為正整數(shù)，可得f（n+1）及f（n）均為整數(shù)．
配方可得f（x）=x²-9x+k=（x-4.5）²-4.5²+k，為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為x=4.5
當x∈（4，5]時，f（x）_max-f（x）_min=f（5）-f（4.5）=0.25，
又f（5）=-20+k∈Z，故只有1個整數(shù)f（5）．
即當x∈（4，5]時，f（x）的值為整數(shù)的個數(shù)有且只有1個
故答案為：4

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)解析式的運用，屬于基礎題．