Question

8．若不等式|x-2|+|x-3|＜3的解集是（a，b），則$\int_a^b{（\sqrt{x}-1）dx=}$（　　）

• A． $\frac{7}{3}$
• B． $\frac{10}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 先求解不等式得其解集，然后借助于微積分基本定理求解定積分．

解答 解：|x-2|+|x-3表示數(shù)軸上的x對應點到2、3對應點的距離之和，
而1和4對應點到2、3對應點的距離之和正好等于3，
故|x-2|+|x-3|＜3的解集是{x|1＜x＜4}，
∴a=1，b=4，則$\int_a^b{（\sqrt{x}-1）dx=}$${∫}_{1}^{4}$（$\sqrt{x}$-1）dx=（$\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$-x）|${\;}_{1}^{4}$=（$\frac{16}{3}$-4）-（$\frac{2}{3}$-1）=$\frac{5}{3}$，
故選：C

點評 本題考查了不等式的解法及定積分的求法，解答的關鍵是找出被積函數(shù)的原函數(shù)，屬中檔題．