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四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB // CD, AD =CD=1，,，.

（I）求證: 平面；

（Ⅱ）求二面角的大�。�

（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離.

解法一：（１）證明： PA⊥底面ABCD,

平面ABCD,，

∠=，.

又，∴ 平面

 (2)  AB // CD,

∵.∠ADC=600,又AD =CD=1,

為等邊三角形,且 AC=1.

取的中點(diǎn)，則，

 PA⊥底面ABCD，平面

過作，垂足為，連，由三垂線定理知.

為二面角的平面角.由.

.

二面角的大小為.  

(3)設(shè)點(diǎn)到平面的距離的距離為.

AB // CD,平面平面,平面.

∴點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.  

 .     

解法二

(1)    同解法一; 

(2)    取的中點(diǎn)，則.

又PA⊥底面ABCD,面,

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.則

，

 

設(shè)為平面的一個法向量，

為平面的一個法向量，則

，可取；

，可取. 

故所求二面角的大小為.      

(3)    又.  

由（Ⅱ）取平面的一個法向量,

點(diǎn)到平面的距離的距離為：

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分別是PD、PC、BC的中點(diǎn)．
（I）求證：PA∥平面EFG；
（II）求平面EFG⊥平面PAD；
（III）若M是線段CD上一點(diǎn)，求三棱錐M-EFG的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•上海）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，已知AB=2，AD=2
2
，PA=2，求：
（1）三角形PCD的面積；
（2）異面直線BC與AE所成的角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=
12
，AD=1．
（I）求證：CD⊥平面PAC
（II）求二面角A-PD-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，M為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：BC∥平面PMD；
（2）求證：PC⊥BC；
（3）求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面MDB；
（2）求證：AD⊥平面PQB；
（3）若平面PAD⊥平面ABCD，且M為PC的中點(diǎn)，求四棱錐M-ABCD的體積．

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同步練習(xí)冊答案