Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{6co{s}^{4}（-x）-5si{n}^{2}（-x）-4}{cos2x}$，求f（x）的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值或．

Answer 1

分析 求定義域只需分母不為0即可，奇偶性看f（-x）和f（x）的關(guān)系，求其值域需對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變形，統(tǒng)一成余弦，再用降冪公式即可．

解答 解：f（x）=$\frac{6co{s}^{4}（-x）-5si{n}^{2}（-x）-4}{cos2x}$=$\frac{6co{s}^{4}x-5si{n}^{2}x-4}{cos2x}$，
由cos2x≠0，得$2x≠kπ+\frac{π}{2}$，
解得$x≠\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}，k∈Z$．
∵f（x）的定義域?yàn)?\{x|x∈R且x≠\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}，k∈Z\}$．
∴f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∵f（-x）=$\frac{6co{s}^{4}（-x）-5si{n}^{2}（-x）-4}{cos2x}$=$\frac{6co{s}^{4}x-5si{n}^{2}x-4}{cos2x}$=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)．
當(dāng)$x≠\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}\;，k∈z$時(shí)，
f（x）=$\frac{6co{s}^{4}x-5si{n}^{2}x-4}{cos2x}$=$\frac{6co{s}^{4}x-5（1-co{s}^{2}x）-4}{cos2x}$=$\frac{6co{s}^{4}x+co{s}^{2}x-9}{cos2x}$
=$\frac{6×（\frac{1+cos2x}{2}）^{2}+\frac{1+cos2x}{2}-9}{cos2x}$=$\frac{3co{s}^{2}2x+3cos2x-15}{cos2x}$=3cos2x-$\frac{15}{cos2x}$+3，
設(shè)t=cos2x，則-1≤t＜0或0＜t≤1，
則函數(shù)等價(jià)為y=3t-$\frac{15}{t}$+3，則函數(shù)在-1≤t＜0和0＜t≤1分別單調(diào)遞增，
當(dāng)-1≤t＜0時(shí)，y≥-3+15+3=15
當(dāng)0＜t≤1時(shí)，y≤3-15+3=-9，
即函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-9]∪[15，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的定義域，奇偶性和值域的求解，利用三角函數(shù)的恒等變形及三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性與值域的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力．