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已知橢圓C的中心為坐標原點，焦點在y軸上，離心率e=
2
2
該橢圓C與直線l：y=
2
x在第一象限交于F點，且直線l被橢圓C截得的弦長為2
3
，過F作傾斜角互補的兩直線FM，F(xiàn)N分別與橢圓C交于M，N兩點（F與M，N均不重合）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：直線MN的斜率為定值；
（Ⅲ）求三角形FMN面積的最大值．
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分析：（Ⅰ）由題設(shè)知：e=
c
a
=
2
2
，c=
2
2
a，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由F（1，
2
），設(shè)kFM=k（k＞0），由直線FM與FN的傾斜角互補，知kFN=-k，直線FM：y=k（x1）+
2
，直線FN：y=-k（x-1）+
2
．由
y=k(x-1)+
2
x2
2
+
y2
4
=1
，得(2+k2)x2+(2
2
k-2k2)x+k2-2
2
k-2=0，由F(1，
2
)是FM與橢圓的交點，知1為（*）的一個根，另一個根為xM，xM•1=
k2-2
2
k-2
2+k2
，yM=k（xM-1）+
2
=
-
2
k2-4k+2
2
k2+2
，M（
k2+2
2
k-2
2+k2
，
-
2
k2+4k+2
2
k2+2
），同理N（
k2+2
2
k-2
2+k2
，
-
2
k2+4k+2
2
k2+2
），由此能求出直線MN的斜率為定值
2
．
（Ⅲ）設(shè)MN與y軸交點為（0，b），M（x1，y1），N（x2，y2），又kMN=
2
，MN的方程為y=
2
x+b．由
y=
2
x+b
x2
2
+
y2
4
=1
，得4x2+2
2
bx+b2-4=0．由△=(2
2
b)2-4×4(b2-4)＞0，得b2＜8，再由韋達定理和兩點間距離公式進行求解．
解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知：e=
c
a
=
2
2
，∴c=
2
2
a，
∵c2=a2-b2，∴
1
2
a2=a2-b2，
即a2=2b2，
設(shè)所求的橢圓C的方程為
x2
b2
+
y2
2b2
=1．
由
y=
2
x
x2
b2
+
y2
2b2
=1
，得x2=
b2
2
，∴x=±
2
b
2
，∴y=±b．
∴兩交點分別為（
2
b
2
，b），(-
2
b
2
，-b)，
∴
(-
2
b
2
-
2
b
2
)2+(-b-b)2
=2
3
，
∴b2=2，a2=4．
∴所求的橢圓C的方程為
x2
2
+
y2
4
=1．
（Ⅱ）由（1）知F（1，
2
），
設(shè)kFM=k（k＞0），
∵直線FM與FN的傾斜角互補，
∴kFN=-k，
∴直線FM：y=k(x1)+
2
，直線FN：y=-k(x-1)+
2
．
由
y=k(x-1)+
2
x2
2
+
y2
4
=1
，得(2+k2)x2+(2
2
k-2k2)x+k2-2
2
k-2=0（*），
∵F(1，
2
)是FM與橢圓的交點，
∴1為（*）的一個根，另一個根為xM，
∴xM•1=
k2-2
2
k-2
2+k2
，
∴yM=k(xM-1)+
2

=
-
2
k2-4k+2
2
k2+2
，
∴M(
k2+2
2
k-2
2+k2
，
-
2
k2+4k+2
2
k2+2
)，
同理N(
k2+2
2
k-2
2+k2
，
-
2
k2+4k+2
2
k2+2
)，
∴kMN=
yM-yN
xM-xN
=
8k
4
2
k
=
2
．
（Ⅲ）設(shè)MN與y軸交點為（0，b），M（x1，y1），N（x2，y2），
又kMN=
2
，
∴MN的方程為y=
2
x+b．
由
y=
2
x+b
x2
2
+
y2
4
=1
，得4x2+2
2
bx+b2-4=0．
由△=(2
2
b)2-4×4(b2-4)＞0，得b2＜8，
∵x1+x2=-
2
2
b，x1•x2=
b2-4
4
，
∴|MN|=
1+k2
•
(x1+x2) 2-4x1x2

=
1+2
•
b2
2
-(b2-4)

=
3
•
4-
b2
2
．
∵kOF=kMN=
2
，
∴OF∥MN，
∴F到MN的距離即為O到MN的距離b=
|b|
3
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的中心為坐標原點O，一個長軸端點為（0，1），短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，若直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于不同的兩點A、B，且
AP
=3
PB
．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率及其標準方程；
（Ⅱ）求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的中心為坐標原點，離心率為
2
2
，直線?與橢圓C相切于M點，F(xiàn)1、F2為橢圓的左右焦點，且|MF1|+|MF2|=2
2
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若直線m過F1點，且與橢圓相交于A、B兩點，|AF2|+|BF2|=
8
2
3
，求直線m的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的中心為坐標原點O，一個長軸端點為（0，2），短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且
AP
=2
PB
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（09年長沙一中一模理）（13分）已知橢圓C的中心為坐標原點O，焦點F1，F2在x軸上，離心率為，點Q在橢圓C上且滿足條件：= 2， 2．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

     （Ⅱ）設(shè)A、B為橢圓上不同的兩點，且滿足OA⊥OB，若(∈R)且，試問：是否為定值．若為定值，請求出；若不為定值，請說明理由。

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