Question

20．若${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$+…+${C}_{n}^{n}$=256，則${（x+\frac{1}{2\sqrt{x}}）}^{n}$的展開式中含x⁵項的系數(shù)為7．（用數(shù)字作答）

Answer 1

分析 根據(jù)組合數(shù)公式求出n的值，再利用二項式展開式的通項公式求出展開式中含x⁵項的系數(shù)．

解答 解：${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$+…+${C}_{n}^{n}$=2ⁿ=256，
∴n=8；
∴${（x+\frac{1}{2\sqrt{x}}）}^{8}$展開式中，通項公式為：
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•x^8-r•${（\frac{1}{2\sqrt{x}}）}^{r}$=${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${C}_{8}^{r}$•${x}^{8-\frac{3}{2}r}$，
令8-$\frac{3}{2}$r=5，解得r=2；
∴展開式中含x⁵項的系數(shù)為${（\frac{1}{2}）}^{2}$•${C}_{8}^{2}$=7．
故答案為：7．

點評 本題考查了組合數(shù)公式與二項式定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．