Question

【題目】已知圓經(jīng)過點(diǎn)、，并且直線： 平分圓.

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）若過點(diǎn)，且斜率為的直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ⅱ）若，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ），（ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）確定圓需要三個(gè)條件，求圓方程可用待定系數(shù)法或直接法，此處是充分運(yùn)用平幾知識(shí)，求出圓心和半徑，直接寫方程；（Ⅱ）直線與圓的關(guān)系既可用幾何法，也可運(yùn)用代數(shù)法，這里兩種方法都用了，感受一下，何時(shí)用何法的內(nèi)在規(guī)律，韋達(dá)定理一定要和判別式結(jié)合使用，否則易犯錯(cuò).

試題解析：（Ⅰ）線段的中點(diǎn)， ，故線段的中垂線方程為，即.

因?yàn)閳A經(jīng)過兩點(diǎn)，故圓心在線段的中垂線上.

又因?yàn)橹本�： 平分圓，所以直線經(jīng)過圓心.

由解得，即圓心的坐標(biāo)為，而圓的半徑，所以圓的方程為： 5分

（Ⅱ）直線的方程為.

圓心到直線的距離，

（ⅰ）由題意得，兩邊平方整理得：

解之得8分

（ⅱ）將直線的方程與圓的方程組成方程組得： 消去，整理得

10分

設(shè)，則由根與系數(shù)的關(guān)系可得：

，

而

所以

12分

故有，解得.經(jīng)檢驗(yàn)知，此時(shí)有，所以14分