Question

已知圓O:x²+y²=2交x軸于A，B兩點(diǎn),曲線C是以AB為長軸,離心率為的橢圓,其左焦點(diǎn)為F.若P是圓O上一點(diǎn),連結(jié)PF,過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的左準(zhǔn)線于點(diǎn)Q.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,1）,求證:直線PQ與圓相切；

（3）試探究:當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動時（不與A、B重合）,直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系?若是,請證明；若不是,請說明理由.

Answer 1

（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2），故直線與圓相切；（3）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，,故直線始終與圓相切

解析:

（1）因為,所以c=1

 則b=1,即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）因為（1,1）,所以,所以,所以直線OQ的方程為y=－2x（6分）

又橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=－2,所以點(diǎn)Q（－2,4））

所以,又,所以,即,

故直線與圓相切

（3）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時,直線與圓保持相切      

證明:設(shè)（）,則,所以,,

所以直線OQ的方程為        

所以點(diǎn)Q（－2,）                    

所以,

又,所以,即,故直線始終與圓相切