Question

【題目】已知拋物線(xiàn)上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.

（1）求拋物線(xiàn)的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由拋物線(xiàn)上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為可得 解得，從而可得拋物線(xiàn)的方程；（2）先討論直線(xiàn)斜率不存在時(shí)的情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為聯(lián)立，消去得 ，根據(jù)韋達(dá)定理、平面向量數(shù)量積公式以及弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式與三角形面積公式可求得的面積.

試題解析：（1）依題意： 解得，所以?huà)佄锞�(xiàn)的方程為

（2）依題意：若直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；

所以設(shè)直線(xiàn)方程為

聯(lián)立，消去得

所以

又

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，

所以

解得，由，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為

所以。