Question

設(shè)f(x)=

x

bx+c

（b，c為常數(shù)），若f(2)=

1

2

，且f(x)-

x

2

=0只有唯一實數(shù)根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）令a₁=1，a_n=f（a_n-1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意利用待定系數(shù)法，先列出關(guān)于a，b的方程組，解方程組即可求出a，b的值，從而得出f（x）的解析式；
（2）根據(jù)（1）中求出的f（x）的解析式，分兩種情況分別求解數(shù)列{a_n}的通項公式．一種情況是直接利用等比數(shù)列的通項公式求解；另一種情況是通過變形得到

1

an

+1=2（

1

an-1

+1），所以數(shù)列{

1

an

+1}是等比數(shù)列，寫出數(shù)列{

1

an

+1}的通項公式，變形后即可得到{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）∵f(x)=

x

bx+c

（b，c為常數(shù)），若f(2)=

1

2

，且f(x)-

x

2

=0只有唯一實數(shù)根，
∴

f(2)= 2 2b+c = 1 2 x bx+c = x 2 只有一個實數(shù)根

，
∴

2b+c=4 b=0

或

2b+c=4 c-2=0

，
解得b=0，c=4，或b=1，c=2
∴f(x)=

x

4

或f(x)=

x

x+2

（2）當(dāng)f(x)=

x

4

時得
a_n=f（a_n-1）=

1

4

a_n-1，又a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是一個首項為1，公式為

1

4

的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=

1

4n-1

；
當(dāng)f(x)=

x

x+2

時得
a_n=f（a_n-1）=

an-1

an-1+2

，
∴

1

an

=

2

an-1

+1，

1

an

+1=2（

1

an-1

+1），
又a₁=1，
∴數(shù)列{

1

an

+1}是一個首項為2，公式為2的等比數(shù)列，
∴

1

an

+1=2ⁿ，∴a_n=

1

2n-1

，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=

1

2n-1

．

點評：此題考查學(xué)生掌握等比數(shù)列的性質(zhì)并會確定一個數(shù)列為等比數(shù)列，靈活運用等比數(shù)列的通項公式，是一道綜合題．