Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax²+$\frac{1}{x}$，其中a為常數(shù)
（1）根據(jù)a的不同取值，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2）若a∈（1，3），判斷函數(shù)f（x）在[1，2]上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義即可判斷，需要分類(lèi)討論；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可判斷．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x}$，顯然為奇函數(shù)，
當(dāng)a≠0時(shí)，f（1）=a+1，f（-1）=a-1，f（1）≠f（-1），且f（1）+f（-1）≠0，
所以此時(shí)f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）∵a∈（1，3），f（x）=ax²+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=2ax-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2a{x}^{3}-1}{{x}^{2}}$，
∵a∈（1，3），x∈[1，2]，
∴ax＞1，
∴ax³＞1，
∴2ax³-1＞0，
∴f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在[1，2]上的單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．