Question

【題目】在三棱柱中，側(cè)面為矩形， ， ， 是的中點(diǎn)， 與交于點(diǎn)，且平面．

（1）證明：平面平面；

（2）若， 的重心為，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）通過(guò)證明， ，推出平面，然后證明平面平面．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以， ， 所在直線(xiàn)為， ， 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．求出平面的法向量，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角，利用空間向量的數(shù)量積求解直線(xiàn)與平面所成角的正弦值即可．

試題解析：（1）∵為矩形， ， ， 是的中點(diǎn)，

∴， ， ， ，

從而， ，

∵， ，∴，

∴，

∴，從而，

∵平面， 平面，

∴，

∵，∴平面，

∵平面，

∴平面平面．

（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以， ， 所在直線(xiàn)為， ， 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

在矩形中，由于，所以和相似，

從而，

又， ，

∴， ， ， ，

∴， ， ， ， ，

∵為的重心，∴， ，

設(shè)平面的法向量為，

， ，

由可得整理得

令，則， ，∴，

設(shè)直線(xiàn)與平面所成角，則

，

所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．