Question

9．已知拋物線y=ax²（a≠0）的準(zhǔn)線方程為y=-1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，1）．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)F是拋物線的焦點(diǎn)，直線l；y=kx+b（k≠0）與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，記AF，BF的斜率之和為m，求常數(shù)m，使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)k（k≠0），直線l恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將y=ax²，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=$\frac{y}{a}$，利用拋物線y=ax²（a≠0）的準(zhǔn)線方程，即可求得拋物線C的方程；
（2）直線方程與拋物線方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4b=0．利用韋達(dá)定理及直線AF，BF的斜率之和為m，可得直線l：y=kx+$\frac{k}{m-k}$，進(jìn)而令xk²-（mx+y+1）k+my=0對(duì)任意的k（k≠0）恒成立，即可求得直線l過(guò)定點(diǎn)．

解答 解：（1）將y=ax²，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=$\frac{y}{a}$，
∴拋物線C的準(zhǔn)線方程為：y=-$\frac{1}{4a}$．  
∵拋物線y=ax²（a≠0）的準(zhǔn)線方程為y=-1，
∴-$\frac{1}{4a}$=-1，解得a=$\frac{1}{4}$．
∴拋物線C的方程是x²=4y．                                    
（2）F（0，1），設(shè)A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4b=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，△=16k²+16b＞0．    
k_AF+k_BF=$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1}{{x}_{1}}$+$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-4）}{4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4k（-4b-4）}{4（-4b）}$．                               …
∴b=$\frac{k}{m-k}$．
∴直線l：y=kx+$\frac{k}{m-k}$．
令xk²-（mx+y+1）k+my=0對(duì)任意的k（k≠0）恒成立．             
則$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{mx+y+1=0}\\{my=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\\{m=0}\end{array}\right.$．
所以m=0，直線l過(guò)定點(diǎn)（0，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是求出直線方程，利用方程對(duì)任意的k（k≠0）恒成立，建立方程組．