Question

計算：（1）y=

1

2+sinx

的值域為

 

，
（2）y=cos（sinx）的值域為

 

，
（3）y=tan²x+4cot²+1的值域為

 

．

Answer 1

分析：（1）因為sinx的值域為-1≤sinx≤1，得到2+sinx的范圍，即可得到y(tǒng)的值域；
（2）-1≤sinx≤1，所以根據(jù)余弦函數(shù)的特點得到cos1≤y≤1；
（3）y=tan²x+

4

tan2x

+1≥4+1=5，當(dāng)且僅當(dāng)tanx=

2

時取等號，得到y(tǒng)的最小值為5，所以得到y(tǒng)的值域．

解答：解：（1）因為-1≤sinx≤1，得1≤2+sinx≤3，所以

1

3

≤

1

2+sinx

≤1即y=

1

2+sinx

的值域為[

1

3

，1]；
（2）因為-1≤sinx≤1，而余弦函數(shù)為關(guān)于y軸對稱的偶函數(shù)且[-1，1]⊆[-

π

2

，

π

2

]，所以y=cos（sinx）的值域為[cos1，1]；
（3）因為y=tan²x+

4

tan2x

+1≥4+1=5，當(dāng)且僅當(dāng)tanx=

2

時取等號，所以y=tan²x+4cot²+1的值域為[5，+∞）．
故答案為（1）[

1

3

，1]，（2）[cos1，1]，（3）[5，+∞）

點評：考查學(xué)生掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的求值域的方法，以及會利用基本不等式求函數(shù)的最小值．