Question

【題目】過函數(shù)的圖象上一點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與交與異于的，兩點(diǎn).

（1）求證：直線的斜率為定值；

（2）如果，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均不大于0，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6

【解析】

（1）由題意易知直線的斜率存在且不為0，則可表示出的直線方程，與聯(lián)立求得的坐標(biāo)，同理可得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的斜率；

（2）設(shè)出直線的方程與聯(lián)立消去，利用判別式大于0求得的范圍，進(jìn)而表示出三角形的面積為，利用換元法令，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性確定面積的最大值.

（1）由題意易知直線的斜率存在且不為0，

可設(shè)直線方程為，即，

由于兩直線傾斜角互補(bǔ)，故直線的方程為，

設(shè)，，

由得，

∵，即，則，

即，同理可得，

∴的斜率為，

即直線的斜率為定值.

（2）設(shè)直線的方程為，

由得，

由得，

又A、B的橫坐標(biāo)不大于零，

∴，，則，

，

于是，點(diǎn)到直線的距離，

則的面積，

令，，，

∴，

令，，

求導(dǎo)可得在上恒成立，

∴在上單調(diào)遞增，則最大值為，

故面積的最大值為6.