Question

已知凼數f（x）=log₃（ax²-x+1），其中a∈R
（1）若f（x）的定義域為R，求實數a的取值范圍
（2）當a=1時，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：復合函數的單調性

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據對數函數的性質，若f（x）的定義域為R，則ax²-x+1＞0恒成立，即可求實數a的取值范圍
（2）當a=1時，利用復合函數單調性和值域的關系即可求f（x）的值域．

解答： 解：（1）若f（x）的定義域為R，
則ax²-x+1＞0恒成立，
若a=0，則不等式等價為1＞0，滿足條件．
若a≠0，則不等式滿足

a＞0 △=1-4a＜0

，
即

a＞0 a＞ 1 4

，解得a＞

1

4

，
綜上a＞

1

4

或a=0．
（2）當a=1時，f（x）=log₃（x²-x+1），
設t=x²-x+1，則t=（x-

1

2

）²+

3

4

≥

3

4

，
∴f（x）=log₃（x²-x+1）≥log₃

3

4

，
故f（x）的值域為[log₃

3

4

，+∞）．

點評：本題主要考查對數函數的性質，利用復合函數單調性和值域的關系以及不等式恒成立是解決本題的關鍵．