Question

（18）

如圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點。

（1）求證：AB₁⊥面A₁BD；

（2）求二面角A－A₁D－B的大小；

（3）求點C到平面A₁BD的距離。

Answer 1

本小題主要考查直線與平面的位置關系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.

解法一：（Ⅰ）取中點，連結.

為正三角形，.

正三棱柱中，平面平面，

平面.

連結，在正方形中，分別為的中點，

，

.

在正方形中，，

平面.

（Ⅱ）設與交于點，在平面中，作于，連結，由（Ⅰ）得平面.

，

為二面角的平面角.

在中，由等面積法可求得，

又，

.

所以二面角的大小為.

（Ⅲ）中，，.

在正三棱柱中，到平面的距離為.

設點到平面的距離為.

由得，

.

點到平面的距離為.

解法二：（Ⅰ）取中點，連結.

為正三角形，.

在正三棱柱中，平面平面，

平面.

取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，

，，.

，，

，.

平面.

（Ⅱ）設平面的法向量為.

，.

，，

 

令得為平面的一個法向量.

由（Ⅰ）知平面，

為平面的法向量.

，.

二面角的大小為.

（Ⅲ）由（Ⅱ），為平面法向量，

.

點到平面的距離.