Question

己知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為,P為橢圓上一動點，、分別為橢圓的左、右焦點，且面積的最大值為.  

  (1)求橢圓的方程；

  (2)設橢圓短軸的上端點為A，M為動點，且成等差數列，求動點M的軌跡的方程；

  (3)過點M作的切線交與Q、R兩點，求證：．

Answer 1

（1）設橢圓C₁的方程為

由橢圓的幾何性質知，當P為橢圓的短軸端點時，△PF₁F₂的面積最大，故| F₁F₂|b=bc=,

解得a=2,b=1,故所求橢圓方程為

（2）由（1）知A（0，1），F₁（，0），F₂（，0），設M（x,y）則

整理得M的軌跡C₂的方程為

（3）l的斜率存在時，設l的方程為y=kx+m,帶入橢圓方程并整理得

設Q（x₁,y₁）,R(x₂,y₂),則x₁+x₂=

所以y₁y₂=(kx₁+m)(kx₂+m)=k²x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²,

又因為l與C₂相切，所以

所以當l的斜率不存在時，l: ,帶入橢圓方程得

此時=