Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn)，為內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．

（1）求橢圓的方程；

（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先由橢圓過點(diǎn)得出值,再由可得出點(diǎn)在橢圓上,代入橢圓方程可得出的值,即可得出橢圓的方程；

（2）當(dāng)直線斜率為0時(shí),易得；當(dāng)直線斜率不為0時(shí),設(shè)直線的方程為,并設(shè)點(diǎn)、,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,并列出韋達(dá)定理,由可得,由已知條件得,將關(guān)系式代入韋達(dá)定理并消去,于是可得出的不等式,即可求出的取值范圍.

解:（1）由于,則、、三點(diǎn)共線,當(dāng)時(shí),則,

因?yàn)?/span>,

所以點(diǎn)和點(diǎn)在橢圓上,

因?yàn)闄E圓過點(diǎn),則,

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程得,解得,

因此,橢圓的方程為；

（2）當(dāng)直線斜率為0時(shí),直線的方程為,則,,所以；

當(dāng)直線斜率不為0時(shí),設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn)、,

將直線的方程代入橢圓的方程并化簡(jiǎn)得,

由韋達(dá)定理可得,,

因?yàn)?/span>,,且,

所以,則,由于,所以,

所以,則,

由,

上述兩式相除得,

由于,化簡(jiǎn)得,解得,

所以,

綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.