Question

9．已知函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且f（x）是偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=x²，若在區(qū)間[-1，3]內，函數g（x）=f（x）-k有4個零點，則實數k的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （0，1）
• D． （$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 利用條件得f（x）=x²，x∈[-1，1]，又周期為2，可以畫出其在整個定義域上的圖象，利用數形結合可得結論．

解答 解：函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
故f（x）是周期為2的周期函數．
當x∈[-1，0]時，-x∈[0，1]時，
∴f（-x）=（-x）²=x²，
∵f（x）是偶函數，
∴f（-x）=f（x）=x²，x∈[-1，0]，
即當x∈[-1，1]時，f（x）=x² ，當x∈[1，3]時，f（x）=（x-2）²．
作出函數f（x）在區(qū)間[-1，3]上的圖象，
由g（x）=f（x）-k=0，得f（x）=k，
由于函數g（x）=f（x）-k有4個零點，故函數y=f（x）的圖象與y=k有4個交點，
則0＜k＜1，
故選：C．

點評 本題主要考查函數的周期性的應用，函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化的數學思想，利用數形結合是解決本題的關鍵．