Question

【題目】如圖，某山地車(chē)訓(xùn)練中心有一直角梯形森林區(qū)域，其四條邊均為道路，其中，，千米，千米，千米．現(xiàn)有甲、乙兩名特訓(xùn)隊(duì)員進(jìn)行野外對(duì)抗訓(xùn)練，要求同時(shí)從地出發(fā)勻速前往地，其中甲的行駛路線是，速度為千米/小時(shí)，乙的行駛路線是，速度為千米/小時(shí)．

（1）若甲、乙兩名特訓(xùn)隊(duì)員到達(dá)地的時(shí)間相差不超過(guò)分鐘，求乙的速度的取值范圍；

（2）已知甲、乙兩名特訓(xùn)隊(duì)員攜帶的無(wú)線通訊設(shè)備有效聯(lián)系的最大距離是千米．若乙先于甲到達(dá)地，且乙從地到地的整個(gè)過(guò)程中始終能用通訊設(shè)備對(duì)甲保持有效聯(lián)系，求乙的速度的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）乙的速度ν的取值范圍為，（單位千米/小時(shí)）（2）

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)B作直線AD的垂線，垂足為E．分別求得甲、乙的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，列不等式求解即可

（2）討論乙運(yùn)動(dòng)到AB,BC,CD時(shí)，甲、乙之間的距離的平方為的表達(dá)式，求函數(shù)最值，列不等式求解即可

（1）如圖．過(guò)點(diǎn)B作直線AD的垂線，垂足為E．

因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為直角梯形，所以四邊形EBCD為矩形，則，，

又在直角三角形ABE中，，即

則由題意得，甲從A地出發(fā)勻速前往D地所需時(shí)間為（小時(shí)），

乙從A地出發(fā)勻速前往D地所需時(shí)間為（小時(shí)），

由題意可知，即，解得，

所求乙的速度ν的取值范圍為，（單位千米/小時(shí)）．

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)t小時(shí)，甲、乙之間的距離的平方為千米，

由于乙先于甲到達(dá)D地，所以，解得，

①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，

且，

由題意可得，解得，

②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

，

因?yàn)?/span>，所以，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，

且，解得

③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

，

因?yàn)?/span>，所以，

則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，取得最大值，

且，解得，

由①②③同時(shí)成立可得，又因?yàn)?/span>，所以

即所求乙的速度v的取值范圍為．