Question

（2013•湖州二模）設f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且x＞0時，f（x）=（

1

2

）^x，則函數(shù)F（x）=f（x）-sinx在[-π，π]上的零點個數(shù)為（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：根據(jù)奇函數(shù)的性質求得函數(shù)f（x）的解析式，本題即求函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象在[-π，π]上的交點個數(shù)，數(shù)形結合可得結論．

解答：解：由于f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且x＞0時，f（x）=（

1

2

）^x ．則當x＜0時，-x＞0，f（-x）=(

1

2

)-x=2^x=-f（x），∴f（x）=-2^x．
∴f（x）=

( 1 2 )x ， x＞0 - 2x， x＜0 0  ，x=0

．
則函數(shù)F（x）=f（x）-sinx在[-π，π]上的零點個數(shù)，就是函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象在[-π，π]上的交點個數(shù)，如圖所示：
結合圖象可得，函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象在[-π，π]上的交點個數(shù)為 5，
故選 D．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關系，求函數(shù)的解析式，奇函數(shù)的性質，體現(xiàn)了數(shù)形結合以及轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．