Question

5．已知函數(shù)y=log_a（x²+2x+k），其中a＞0且a≠1
（1）若定義域?yàn)镽，求k的取值范圍；
（2）若值域?yàn)镽，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把函數(shù)y=log_a（x²+2x+k）的定義域?yàn)镽，轉(zhuǎn)化為對任意實(shí)數(shù)x，x²+2x+k＞0恒成立，由判別式小于0求得k的范圍；
（2）函數(shù)y=log_a（x²+2x+k）的值域?yàn)镽，轉(zhuǎn)化為x²+2x+k能夠取到大于0的所有實(shí)數(shù)，由判別式大于等于0求得k的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)y=log_a（x²+2x+k）的定義域?yàn)镽，
說明對任意實(shí)數(shù)x，x²+2x+k＞0恒成立，則
△=2²-4k＜0，解得k＞1．
∴k的取值范圍是（1，+∞）；
（2）函數(shù)y=log_a（x²+2x+k）的值域?yàn)镽，
說明x²+2x+k能夠取到大于0的所有實(shí)數(shù)，則
△=2²-4k≥0，解得k≤1．
∴k的取值范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是把原問題轉(zhuǎn)化為真數(shù)上二次三項(xiàng)式的取值問題，是中檔題．