Question

已知長方形ABCD，拋物線l以CD的中點E為頂點，經(jīng)過A、B兩點，記拋物線l與AB邊圍成的封閉區(qū)域為M．若隨機向該長方形內(nèi)投入一粒豆子，落入?yún)^(qū)域M的概率為P．則下列結論正確的有

 

①不論邊長AB，BC如何變化，P為定值  ②若

AB

BC

的值越大，P越大    ③當且僅當AB=BC時，P最大        ④當且僅當AB=BC時，P最�。�

Answer 1

考點：幾何概型

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：以E為原點，CD為x軸，過點E垂直于CD的直線為y軸建立平面直角坐標系，利用面積為測度，計算陰影面積，矩形ABCD的面積由幾何概型得所求事件的概率．

解答： 解：以E為原點，CD為x軸，過點E垂直于CD的直線為y軸建立平面直角坐標系如圖所示．
設正方形的長為2a，寬為b，則C（a，0），B（a，b），A（-a，b），D（-a，0），
設拋物線方程為y=mx²，代入點B，得m=

b

a2

，所以y=

b

a2

x²．
陰影面積S=2

∫

a 0

（b-

b

a2

x²）dx=2（bx-

b

3a2

x3）

|

a 0

=

4ab

3

，
矩形ABCD的面積S′=ab，
故由幾何概型得，所求事件的概率為P=

S

S′

=

4

3

為常數(shù)．
故答案為：①

點評：本題考查幾何概型，考查面積測度，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．