Question

定義在的三個函數(shù)f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx, g(x)= ,且g(x)在[1，2]為增函數(shù)，h(x)在（0，1）為減函數(shù).

（I）求g(x)，h(x)的表達式；

（II）求證：當1<x<時，恒有

（III）把h(x)對應(yīng)的曲線向上平移6個單位后得曲線，求與g(x)對應(yīng)曲線的交點個數(shù)，并說明道理.

Answer 1

（I）由題意：

∴恒成立.

又恒成立.

∴即

（II）

欲證：

只需證：

即證：

記

∴

∴當x>1時，為增函數(shù)

即

∴結(jié)論成立

（III）由 （1）知：

∴對應(yīng)表達式為

∴問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)

即求方程：

即：

設(shè)

∴當時，為減函數(shù).

當時，為增函數(shù).

而的圖象開口向下的拋物線

∴與的大致圖象如圖：

∴與的交點個數(shù)為2個.

即與的交點個數(shù)為2個.